Análise Combinatória - Permutação - Trilha
Permutação
Uma jornada combinatória pelo mundo das permutações
Prof. João Capri
www.joaocapri.com.brMissão do Explorador Combinatório
Bem-vindo, futuro explorador das permutações! Nesta jornada, você vai desvendar os segredos da análise combinatória, conhecimento essencial para qualquer aventureiro matemático que deseja ter sucesso no vestibular.
Sua missão é dominar as técnicas e fórmulas para calcular permutações em diferentes contextos, resolver problemas e conquistar o conhecimento necessário para enfrentar qualquer desafio.
Conceitos Básicos
A permutação é um arranjo ordenado de elementos. Em outras palavras, é uma forma de organizar objetos em uma ordem específica. Na análise combinatória, estudamos diferentes tipos de permutações e como contá-las.
Quando falamos de permutações, estamos interessados em quantas maneiras diferentes podemos arranjar esses elementos.
Princípio Fundamental da Contagem
Se um evento pode ocorrer de \(m\) maneiras diferentes, e para cada uma dessas maneiras, um segundo evento pode ocorrer de \(n\) maneiras diferentes, então o número total de maneiras que os dois eventos podem ocorrer é \(m \times n\).
Esse princípio é a base para entender permutações.
Exemplo
Um estudante precisa escolher uma camisa (azul, vermelha ou verde) e uma calça (preta ou jeans). De quantas maneiras diferentes ele pode se vestir?
Resolução:
Temos 3 opções de camisa e 2 opções de calça.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem: \(3 \times 2 = 6\)
Portanto, o estudante pode se vestir de 6 maneiras diferentes.
Exercício
Uma senha consiste em 3 letras seguidas de 2 dígitos. Quantas senhas diferentes podem ser formadas usando as 26 letras do alfabeto e os 10 dígitos (0-9)?
Resolução:
Para cada posição das letras, temos 26 possibilidades.
Para cada posição dos dígitos, temos 10 possibilidades.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem: \(26 \times 26 \times 26 \times 10 \times 10\)
\(26^3 \times 10^2 = 17.576 \times 100 = 1.757.600\)
Portanto, podem ser formadas 1.757.600 senhas diferentes.
Permutação Simples
A permutação simples refere-se ao número de maneiras de ordenar \(n\) elementos distintos (diferentes entre si). Quando todos os elementos são utilizados nas permutações, o número total de configurações possíveis é dado por:
Fórmula da Permutação Simples
Onde \(n!\) (fatorial de n) é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até n:
\(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 3 \times 2 \times 1\)
Exemplo
De quantas maneiras diferentes 5 pessoas podem se sentar em uma fileira com 5 cadeiras?
Resolução:
Como temos 5 pessoas distintas e 5 posições disponíveis, trata-se de uma permutação simples de 5 elementos.
Aplicando a fórmula: \(P_5 = 5!\)
\(P_5 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)
Portanto, existem 120 maneiras diferentes para as 5 pessoas se sentarem.
Exercício
Um professor precisa organizar 7 alunos em uma fileira para uma apresentação. De quantas maneiras diferentes ele pode fazer isso?
Resolução:
Como são 7 alunos distintos que precisam ser ordenados, temos uma permutação simples de 7 elementos.
Aplicando a fórmula: \(P_7 = 7!\)
\(P_7 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5.040\)
Portanto, existem 5.040 maneiras diferentes de organizar os 7 alunos em uma fileira.
Permutação com Repetição
A permutação com repetição ocorre quando temos um conjunto de \(n\) elementos, mas alguns deles se repetem. Neste caso, o número de permutações possíveis é menor que \(n!\), pois algumas configurações se tornam indistinguíveis.
Fórmula da Permutação com Repetição
Onde:
- \(n\) é o número total de elementos
- \(n_1, n_2, ..., n_k\) são as quantidades de cada tipo de elemento repetido
- \(n = n_1 + n_2 + ... + n_k\)
Exemplo
De quantas maneiras diferentes podemos ordenar as letras da palavra "BANANA"?
Resolução:
A palavra "BANANA" tem 6 letras, com 3 letras A, 2 letras N e 1 letra B.
Aplicando a fórmula de permutação com repetição:
\(P_{6}^{(3,2,1)} = \frac{6!}{3! \times 2! \times 1!}\)
\(P_{6}^{(3,2,1)} = \frac{720}{12} = 60\)
Portanto, existem 60 maneiras diferentes de ordenar as letras da palavra "BANANA".
Exercício
De quantas maneiras diferentes podemos ordenar as letras da palavra "MISSISSIPPI"?
Resolução:
A palavra "MISSISSIPPI" tem 11 letras:
- 1 letra M
- 4 letras I
- 4 letras S
- 2 letras P
Aplicando a fórmula de permutação com repetição:
\(P_{11}^{(1,4,4,2)} = \frac{11!}{1! \times 4! \times 4! \times 2!}\)
\(P_{11}^{(1,4,4,2)} = \frac{39.916.800}{1 \times 24 \times 24 \times 2} = \frac{39.916.800}{1.152} = 34.650\)
Portanto, existem 34.650 maneiras diferentes de ordenar as letras da palavra "MISSISSIPPI".
Permutação Circular
A permutação circular refere-se ao número de maneiras de dispor \(n\) objetos em um círculo. Na permutação circular, o que importa é a posição relativa entre os elementos, não a posição absoluta.
Fórmula da Permutação Circular
Onde \(n\) é o número de elementos a serem dispostos no círculo.
A permutação circular é igual à permutação simples dividida por \(n\) porque em um círculo, todas as rotações de uma mesma ordenação são consideradas iguais.
Exemplo
De quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em uma mesa redonda?
Resolução:
Como temos 6 pessoas que vão se sentar em uma mesa redonda, trata-se de uma permutação circular de 6 elementos.
Aplicando a fórmula: \(PC_6 = (6-1)! = 5!\)
\(PC_6 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)
Portanto, existem 120 maneiras diferentes para as 6 pessoas se sentarem em uma mesa redonda.
Exercício
Um grupo de 8 pessoas vai sentar-se em uma mesa redonda para uma reunião. Se duas pessoas específicas não podem sentar-se lado a lado, de quantas maneiras diferentes o grupo pode se organizar?
Resolução:
Primeiro, calculamos o total de permutações circulares para 8 pessoas:
\(PC_8 = (8-1)! = 7! = 5.040\)
Agora, precisamos subtrair o número de casos onde as duas pessoas específicas sentam-se lado a lado.
Podemos considerar essas duas pessoas como um bloco único, resultando em um problema de 7 elementos em círculo:
\(PC_7 = (7-1)! = 6! = 720\)
Mas o bloco de 2 pessoas pode ser arranjado de \(2! = 2\) maneiras diferentes, então:
Número de arranjos com as duas pessoas juntas = \(720 \times 2 = 1.440\)
Portanto, o número de maneiras de organizar o grupo com as duas pessoas não adjacentes é:
\(5.040 - 1.440 = 3.600\)
Anagramas
Um anagrama é uma palavra ou frase formada pela troca da ordem das letras de outra palavra ou frase. Em outras palavras, anagramas são permutações das letras de uma palavra.
Para calcular o número de anagramas de uma palavra, usamos as regras de permutação que aprendemos anteriormente:
Cálculo de Anagramas
- Se todas as letras da palavra são diferentes: usamos permutação simples (\(n!\))
- Se há letras repetidas: usamos permutação com repetição (\(\frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ... \times n_k!}\))
Exemplo 1
Quantos anagramas diferentes podem ser formados com a palavra "CASA"?
Resolução:
A palavra "CASA" tem 4 letras, com 2 letras A repetidas.
Aplicando a fórmula de permutação com repetição:
\(P_{4}^{(2,1,1)} = \frac{4!}{2! \times 1! \times 1!} = \frac{24}{2} = 12\)
Portanto, podem ser formados 12 anagramas diferentes com a palavra "CASA".
Exemplo 2
Quantos anagramas diferentes podem ser formados com a palavra "MATEMÁTICA"?
Resolução:
A palavra "MATEMÁTICA" tem 10 letras:
- 3 letras A
- 2 letras M
- 2 letras T
- 1 letra E
- 1 letra I
- 1 letra C
Aplicando a fórmula de permutação com repetição:
\(P_{10}^{(3,2,2,1,1,1)} = \frac{10!}{3! \times 2! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!}\)
\(P_{10}^{(3,2,2,1,1,1)} = \frac{3.628.800}{12 \times 2 \times 2} = \frac{3.628.800}{48} = 75.600\)
Portanto, podem ser formados 75.600 anagramas diferentes com a palavra "MATEMÁTICA".
Exercício 1
Quantos anagramas podem ser formados com a palavra "VESTIBULAR"?
Resolução:
A palavra "VESTIBULAR" tem 10 letras, todas diferentes:
V, E, S, T, I, B, U, L, A, R
Como todas as letras são diferentes, temos uma permutação simples:
\(P_{10} = 10!\)
\(P_{10} = 3.628.800\)
Portanto, podem ser formados 3.628.800 anagramas diferentes com a palavra "VESTIBULAR".
Exercício 2
Quantos anagramas da palavra "COMBINATÓRIA" começam com a letra C e terminam com a letra A?
Resolução:
A palavra "COMBINATÓRIA" tem 12 letras:
- 1 letra C (fixada na primeira posição)
- 2 letras O
- 1 letra M
- 1 letra B
- 1 letra I
- 1 letra N
- 1 letra A (fixada na última posição)
- 1 letra T
- 1 letra Ó
- 1 letra R
- 1 letra I
- 1 letra A (já contamos na posição final)
Como estamos fixando C no início e A no fim, precisamos permutar as outras 10 letras, lembrando que temos 2 letras O repetidas e 2 letras I repetidas.
Aplicando a fórmula de permutação com repetição:
\(P_{10}^{(2,2,1,1,1,1,1,1)} = \frac{10!}{2! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1!}\)
\(P_{10}^{(2,2,1,1,1,1,1,1)} = \frac{3.628.800}{4} = 907.200\)
Portanto, existem 907.200 anagramas da palavra "COMBINATÓRIA" que começam com C e terminam com A.
Parabéns, Explorador Combinatório!
Você concluiu a jornada pelas permutações. Agora você possui o conhecimento necessário para resolver problemas de combinatória e permutações, fundamentais para o vestibular.
Resumo das Fórmulas
| Tipo de Permutação | Fórmula | Aplicação |
|---|---|---|
| Permutação Simples | \(P_n = n!\) | Quando todos os elementos são distintos |
| Permutação com Repetição | \(P_{n}^{(n_1,n_2,...,n_k)} = \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ... \times n_k!}\) | Quando há elementos repetidos |
| Permutação Circular | \(PC_n = (n-1)!\) | Quando os elementos estão dispostos em círculo |
| Anagramas | Segue as regras de permutação simples ou com repetição | Para calcular quantas palavras diferentes podem ser formadas |
Dicas para o vestibular
- Identifique o tipo de permutação do problema
- Verifique se há elementos repetidos
- Atente-se para restrições (início, fim, adjacência)
- Utilize o Princípio Fundamental da Contagem
- Faça esquemas para problemas complexos
Próximos Passos
- Estude arranjos e combinações
- Resolva problemas de probabilidade
- Pratique com questões de vestibulares anteriores
- Faça conexões com outros tópicos matemáticos
- Crie seus próprios problemas para praticar