Progressão Aritmética - Trilha
Progressão Aritmética
Uma jornada matemática pelo mundo das sequências
Prof. João Capri
www.joaocapri.com.brMissão do Explorador de Sequências
Bem-vindo, futuro explorador das progressões aritméticas! Nesta jornada, você vai desvendar os segredos das sequências numéricas, conhecimento essencial para qualquer aventureiro matemático que deseja ter sucesso no vestibular.
Sua missão é dominar as fórmulas e técnicas para calcular termos, somas e resolver problemas envolvendo progressões aritméticas, conquistando o conhecimento necessário para enfrentar qualquer desafio.
Conceitos Básicos
Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. Essa constante é chamada de razão da progressão.
Em uma progressão aritmética, a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma.
Definição Formal
Uma sequência \((a_1, a_2, a_3, ..., a_n, ...)\) é uma progressão aritmética quando existe um número real \(r\) tal que:
O número \(r\) é chamado de razão da progressão aritmética.
Exemplo
Determine se a sequência (3, 7, 11, 15, 19, ...) é uma progressão aritmética e, em caso afirmativo, qual é a sua razão.
Resolução:
Vamos calcular as diferenças entre termos consecutivos:
\(a_2 - a_1 = 7 - 3 = 4\)
\(a_3 - a_2 = 11 - 7 = 4\)
\(a_4 - a_3 = 15 - 11 = 4\)
\(a_5 - a_4 = 19 - 15 = 4\)
Como as diferenças são todas iguais a 4, a sequência é uma progressão aritmética com razão \(r = 4\).
Exercício
A sequência (5, 1, -3, -7, -11, ...) é uma progressão aritmética?
Resolução:
Vamos calcular as diferenças entre termos consecutivos:
\(a_2 - a_1 = 1 - 5 = -4\)
\(a_3 - a_2 = -3 - 1 = -4\)
\(a_4 - a_3 = -7 - (-3) = -4\)
\(a_5 - a_4 = -11 - (-7) = -4\)
Como as diferenças são todas iguais a -4, a sequência é uma progressão aritmética com razão \(r = -4\).
Termo Geral da PA
O termo geral de uma progressão aritmética é uma fórmula que nos permite calcular qualquer termo da sequência, conhecendo o primeiro termo e a razão.
Fórmula do Termo Geral
Onde:
- \(a_n\) é o termo de posição \(n\) (ou n-ésimo termo)
- \(a_1\) é o primeiro termo da PA
- \(r\) é a razão da PA
- \(n\) é a posição do termo que queremos encontrar
Exemplo
Em uma PA de primeiro termo 5 e razão 3, determine o 10º termo.
Resolução:
Dados: \(a_1 = 5\), \(r = 3\) e \(n = 10\)
Aplicando a fórmula do termo geral: \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\)
\(a_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3\)
\(a_{10} = 5 + 9 \cdot 3\)
\(a_{10} = 5 + 27\)
\(a_{10} = 32\)
Portanto, o 10º termo da PA é 32.
Exemplo 2
Determine o 1º termo de uma PA, sabendo que o 6º termo é 13 e o 10º termo é 25.
Resolução:
Para resolver este problema, precisamos encontrar os valores de \(a_1\) e \(r\) usando as informações fornecidas.
Sabemos que \(a_6 = 13\) e \(a_{10} = 25\)
Aplicando a fórmula do termo geral para \(a_6\):
\(a_6 = a_1 + (6-1) \cdot r\)
\(13 = a_1 + 5r\) ... (1)
Aplicando a fórmula do termo geral para \(a_{10}\):
\(a_{10} = a_1 + (10-1) \cdot r\)
\(25 = a_1 + 9r\) ... (2)
Subtraindo a equação (1) da (2), temos:
\(25 - 13 = (a_1 + 9r) - (a_1 + 5r)\)
\(12 = 4r\)
\(r = 3\)
Substituindo \(r = 3\) na equação (1):
\(13 = a_1 + 5 \cdot 3\)
\(13 = a_1 + 15\)
\(a_1 = 13 - 15 = -2\)
Portanto, o 1º termo da PA é -2.
Exercício
Em uma progressão aritmética, o 1º termo é 7 e a razão é -3. Qual é o 15º termo dessa progressão?
Resolução:
Dados: \(a_1 = 7\), \(r = -3\) e \(n = 15\)
Aplicando a fórmula do termo geral: \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\)
\(a_{15} = 7 + (15-1) \cdot (-3)\)
\(a_{15} = 7 + 14 \cdot (-3)\)
\(a_{15} = 7 + (-42)\)
\(a_{15} = -35\)
Portanto, o 15º termo da PA é -35.
Soma dos Termos da PA
A soma dos \(n\) primeiros termos de uma progressão aritmética pode ser calculada sem a necessidade de somar um a um. Existem fórmulas que nos permitem calcular essa soma de forma direta.
Fórmulas da Soma
Existem duas fórmulas principais para calcular a soma dos \(n\) primeiros termos de uma PA:
Ou alternativamente:
Onde:
- \(S_n\) é a soma dos \(n\) primeiros termos
- \(a_1\) é o primeiro termo da PA
- \(a_n\) é o n-ésimo termo da PA
- \(r\) é a razão da PA
- \(n\) é o número de termos a serem somados
Exemplo
Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA: (5, 8, 11, 14, ...).
Resolução:
Dados: \(a_1 = 5\), \(r = 3\) (pois \(8 - 5 = 3\)) e \(n = 20\)
Primeiro, precisamos calcular o vigésimo termo (\(a_{20}\)) usando a fórmula do termo geral:
\(a_{20} = a_1 + (20-1) \cdot r = 5 + 19 \cdot 3 = 5 + 57 = 62\)
Agora, podemos calcular a soma utilizando a primeira fórmula:
\(S_{20} = \frac{20 \cdot (5 + 62)}{2}\)
\(S_{20} = \frac{20 \cdot 67}{2}\)
\(S_{20} = \frac{1340}{2}\)
\(S_{20} = 670\)
Portanto, a soma dos 20 primeiros termos da PA é 670.
Exemplo 2
Calcule a soma de todos os números ímpares entre 1 e 100.
Resolução:
Os números ímpares entre 1 e 100 formam uma PA: 1, 3, 5, 7, ..., 99
Dados: \(a_1 = 1\), \(r = 2\) e \(a_n = 99\)
Precisamos descobrir o valor de \(n\), ou seja, quantos números ímpares existem entre 1 e 100:
Usando a fórmula do termo geral: \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\)
\(99 = 1 + (n-1) \cdot 2\)
\(99 = 1 + 2n - 2\)
\(99 = 2n - 1\)
\(100 = 2n\)
\(n = 50\)
Agora, calculamos a soma utilizando a fórmula:
\(S_{50} = \frac{50 \cdot (1 + 99)}{2}\)
\(S_{50} = \frac{50 \cdot 100}{2}\)
\(S_{50} = \frac{5000}{2}\)
\(S_{50} = 2500\)
Portanto, a soma de todos os números ímpares entre 1 e 100 é 2500.
Exercício
Calcule a soma dos 15 primeiros termos da PA cujo primeiro termo é 4 e a razão é -2.
Resolução:
Dados: \(a_1 = 4\), \(r = -2\) e \(n = 15\)
Vamos usar a segunda fórmula para calcular a soma:
\(S_n = \frac{n \cdot [2a_1 + (n-1)r]}{2}\)
\(S_{15} = \frac{15 \cdot [2 \cdot 4 + (15-1) \cdot (-2)]}{2}\)
\(S_{15} = \frac{15 \cdot [8 + 14 \cdot (-2)]}{2}\)
\(S_{15} = \frac{15 \cdot [8 + (-28)]}{2}\)
\(S_{15} = \frac{15 \cdot (-20)}{2}\)
\(S_{15} = \frac{-300}{2}\)
\(S_{15} = -150\)
Portanto, a soma dos 15 primeiros termos da PA é -150.
Termo Médio
O termo médio em uma progressão aritmética é um conceito importante que representa a média aritmética de dois termos equidistantes dos extremos.
Termo Médio
Em uma PA com número ímpar de termos, o termo médio é aquele que ocupa a posição central da sequência e pode ser calculado pela média aritmética do primeiro e do último termo:
Onde:
- \(a_m\) é o termo médio (ou termo central)
- \(a_1\) é o primeiro termo da PA
- \(a_n\) é o último termo da PA
Se a PA tem \(n\) termos (sendo \(n\) ímpar), o termo médio é o termo de posição \(m = \frac{n+1}{2}\).
Exemplo
Em uma PA de 9 termos, o primeiro termo é 7 e o último termo é 31. Determine o termo médio.
Resolução:
Dados: \(n = 9\), \(a_1 = 7\) e \(a_9 = 31\)
Como a PA tem 9 termos (número ímpar), existe um termo médio.
O termo médio é o 5º termo (termo central), pois \(m = \frac{n+1}{2} = \frac{9+1}{2} = 5\)
Utilizando a fórmula do termo médio:
\(a_5 = \frac{a_1 + a_9}{2}\)
\(a_5 = \frac{7 + 31}{2}\)
\(a_5 = \frac{38}{2}\)
\(a_5 = 19\)
Portanto, o termo médio da PA é 19.
Exemplo 2
Dados três números em PA, sendo o primeiro 5 e o terceiro 13, determine o número do meio (termo médio).
Resolução:
Dados: \(a_1 = 5\) e \(a_3 = 13\)
Como temos 3 números em PA, o número do meio é o 2º termo, que é o termo médio da sequência.
Utilizando a fórmula do termo médio:
\(a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}\)
\(a_2 = \frac{5 + 13}{2}\)
\(a_2 = \frac{18}{2}\)
\(a_2 = 9\)
Portanto, o número do meio (termo médio) é 9.
Exercício
Em uma PA de 7 termos, o primeiro termo é -8 e a razão é 3. Determine o termo médio dessa progressão.
Resolução:
Dados: \(n = 7\), \(a_1 = -8\) e \(r = 3\)
Primeiro, precisamos encontrar o último termo (\(a_7\)):
\(a_7 = a_1 + (7-1) \cdot r = -8 + 6 \cdot 3 = -8 + 18 = 10\)
Como a PA tem 7 termos (número ímpar), o termo médio é o 4º termo:
\(m = \frac{n+1}{2} = \frac{7+1}{2} = 4\)
Utilizando a fórmula do termo médio:
\(a_4 = \frac{a_1 + a_7}{2}\)
\(a_4 = \frac{-8 + 10}{2}\)
\(a_4 = \frac{2}{2}\)
\(a_4 = 1\)
Portanto, o termo médio da PA é 1.
Aplicações da PA
As progressões aritméticas têm diversas aplicações em problemas reais e em questões de vestibulares. Vamos resolver alguns problemas mais elaborados envolvendo PA.
Problema 1: Soma dos Ângulos Internos
Os ângulos internos de um polígono formam uma PA. Se o menor ângulo mede 100° e a razão da PA é 5°, determine o número de lados do polígono.
Resolução:
Seja \(n\) o número de lados do polígono.
A soma dos ângulos internos de um polígono de \(n\) lados é dada por: \(S = (n - 2) \cdot 180°\)
Se os ângulos formam uma PA com primeiro termo \(a_1 = 100°\) e razão \(r = 5°\), então:
O último ângulo (n-ésimo termo) será: \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r = 100° + (n-1) \cdot 5°\)
A soma dos ângulos também pode ser calculada pela fórmula da soma da PA:
\(S = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}\)
\(S = \frac{n \cdot (100° + 100° + (n-1) \cdot 5°)}{2}\)
\(S = \frac{n \cdot (200° + (n-1) \cdot 5°)}{2}\)
Igualando as duas expressões para a soma:
\((n - 2) \cdot 180° = \frac{n \cdot (200° + (n-1) \cdot 5°)}{2}\)
\(2 \cdot (n - 2) \cdot 180° = n \cdot (200° + (n-1) \cdot 5°)\)
\(360°n - 720° = 200°n + 5°n^2 - 5°n\)
\(360°n - 200°n - 5°n + 720° = 5°n^2\)
\(155°n + 720° = 5°n^2\)
\(5°n^2 - 155°n - 720° = 0\)
\(n^2 - 31n - 144 = 0\)
Usando a fórmula de Bhaskara:
\(n = \frac{31 \pm \sqrt{31^2 + 4 \cdot 144}}{2}\)
\(n = \frac{31 \pm \sqrt{961 + 576}}{2}\)
\(n = \frac{31 \pm \sqrt{1537}}{2}\)
\(n = \frac{31 \pm 39,2}{2}\)
\(n_1 = \frac{31 + 39,2}{2} \approx 35,1\) e \(n_2 = \frac{31 - 39,2}{2} \approx -4,1\)
Como \(n\) representa o número de lados de um polígono, deve ser positivo. Como não existe polígono com número decimal de lados, arredondamos para \(n = 36\).
Portanto, o polígono tem 36 lados.
Problema 2: Aplicação Financeira
Uma pessoa decide economizar, depositando R$ 100,00 no primeiro mês e aumentando o depósito em R$ 20,00 a cada mês. Quanto ela terá depositado ao final de 2 anos?
Resolução:
Temos uma PA com \(a_1 = 100\) e \(r = 20\)
Queremos calcular a soma dos depósitos ao longo de 2 anos, ou seja, 24 meses.
Primeiro, calculamos o valor do 24º depósito:
\(a_{24} = a_1 + (24-1) \cdot r = 100 + 23 \cdot 20 = 100 + 460 = 560\)
Agora, calculamos a soma utilizando a fórmula:
\(S_{24} = \frac{24 \cdot (a_1 + a_{24})}{2}\)
\(S_{24} = \frac{24 \cdot (100 + 560)}{2}\)
\(S_{24} = \frac{24 \cdot 660}{2}\)
\(S_{24} = \frac{15840}{2}\)
\(S_{24} = 7920\)
Portanto, ao final de 2 anos, a pessoa terá depositado R$ 7.920,00.
Exercício para o Vestibular
Em um teatro, as poltronas estão dispostas em fileiras. Na primeira fileira há 20 poltronas, na segunda há 23, na terceira há 26, e assim por diante, em progressão aritmética. Se o teatro tem 15 fileiras, qual é o número total de poltronas?
Resolução:
As poltronas formam uma PA com \(a_1 = 20\) e \(r = 3\) (pois \(23 - 20 = 3\))
Queremos encontrar o número total de poltronas nas 15 fileiras, ou seja, a soma dos 15 primeiros termos da PA.
Primeiro, calculamos o número de poltronas na 15ª fileira:
\(a_{15} = a_1 + (15-1) \cdot r = 20 + 14 \cdot 3 = 20 + 42 = 62\)
Agora, calculamos a soma utilizando a fórmula:
\(S_{15} = \frac{15 \cdot (a_1 + a_{15})}{2}\)
\(S_{15} = \frac{15 \cdot (20 + 62)}{2}\)
\(S_{15} = \frac{15 \cdot 82}{2}\)
\(S_{15} = \frac{1230}{2}\)
\(S_{15} = 615\)
Portanto, o teatro tem um total de 615 poltronas.
Desafio do Vestibular
Em uma PA, a soma do quinto termo com o nono termo é igual a 40, e a soma do oitavo com o décimo quinto termo é igual a 74. Qual é o vigésimo termo dessa PA?
Resolução:
Vamos chamar o primeiro termo de \(a_1\) e a razão de \(r\).
Dadas as informações:
\(a_5 + a_9 = 40\) ... (1)
\(a_8 + a_{15} = 74\) ... (2)
Usando a fórmula do termo geral:
\(a_5 = a_1 + 4r\)
\(a_9 = a_1 + 8r\)
\(a_8 = a_1 + 7r\)
\(a_{15} = a_1 + 14r\)
Substituindo na equação (1):
\(a_5 + a_9 = (a_1 + 4r) + (a_1 + 8r) = 2a_1 + 12r = 40\) ... (3)
Substituindo na equação (2):
\(a_8 + a_{15} = (a_1 + 7r) + (a_1 + 14r) = 2a_1 + 21r = 74\) ... (4)
Subtraindo a equação (3) da equação (4):
\((2a_1 + 21r) - (2a_1 + 12r) = 74 - 40\)
\(9r = 34\)
\(r = \frac{34}{9}\)
Substituindo \(r = \frac{34}{9}\) na equação (3):
\(2a_1 + 12 \cdot \frac{34}{9} = 40\)
\(2a_1 + \frac{408}{9} = 40\)
\(2a_1 = 40 - \frac{408}{9}\)
\(2a_1 = \frac{360 - 408}{9}\)
\(2a_1 = \frac{-48}{9}\)
\(a_1 = \frac{-24}{9} = \frac{-8}{3}\)
Agora, calculamos o vigésimo termo:
\(a_{20} = a_1 + 19r = \frac{-8}{3} + 19 \cdot \frac{34}{9}\)
\(a_{20} = \frac{-8}{3} + \frac{646}{9}\)
\(a_{20} = \frac{-24 + 646}{9}\)
\(a_{20} = \frac{622}{9}\)
Portanto, o vigésimo termo da PA é \(\frac{622}{9}\), aproximadamente 69,11.
Parabéns, Explorador de Sequências!
Você concluiu a jornada pelas progressões aritméticas. Agora você possui o conhecimento necessário para resolver problemas envolvendo PA, fundamentais para o vestibular.
Resumo das Fórmulas
| Conceito | Fórmula | Aplicação |
|---|---|---|
| Termo Geral | \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\) | Calcular o valor de um termo específico da PA |
| Soma dos Termos | \(S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}\) | Somar os \(n\) primeiros termos da PA |
| Soma Alternativa | \(S_n = \frac{n \cdot [2a_1 + (n-1)r]}{2}\) | Somar os \(n\) primeiros termos sem conhecer \(a_n\) |
| Termo Médio | \(a_m = \frac{a_1 + a_n}{2}\) | Calcular o termo médio em uma PA com número ímpar de termos |
Dicas para o vestibular
- Identifique rapidamente se uma sequência é PA verificando se a diferença entre termos consecutivos é constante
- Memorize as fórmulas principais (termo geral e soma)
- Pratique problemas de PA em diferentes contextos (finanças, geometria, física)
- Aprenda a montar equações a partir das informações do problema
- Verifique seus resultados substituindo valores na PA original
Próximos Passos
- Estude progressões geométricas (PG)
- Explore problemas mistos de PA e PG
- Conheça progressões harmônicas
- Aprofunde-se em sequências especiais (Fibonacci, etc.)
- Aplique PA em problemas de matemática financeira