Áreas de Figuras Planas - Trilha
Áreas de Figuras Planas
Uma jornada geométrica pelo mundo das áreas
Prof. João Capri
www.joaocapri.com.brMissão do Explorador Geométrico
Bem-vindo, futuro explorador das formas geométricas! Nesta jornada, você vai desvendar os segredos das áreas de figuras planas, conhecimento essencial para qualquer aventureiro matemático que deseja ter sucesso no vestibular.
Sua missão é dominar as fórmulas e técnicas para calcular áreas de diversas figuras geométricas, resolver problemas e conquistar o conhecimento necessário para enfrentar qualquer desafio.
Área do Quadrado
O quadrado é uma figura geométrica plana com quatro lados de mesmo comprimento e quatro ângulos retos (90°).
Fórmula da Área do Quadrado
Onde \(l\) é o comprimento do lado do quadrado.
Exemplo
Calcule a área de um quadrado cujo lado mede 5 cm.
Resolução:
Dados: \(l = 5\) cm
Aplicando a fórmula: \(A = l^2\)
\(A = 5^2 = 25\)
A área do quadrado é 25 cm².
Exercício
Um quadrado tem perímetro igual a 20 cm. Qual é a sua área?
Resolução:
O perímetro de um quadrado é a soma dos comprimentos de todos os lados: \(P = 4l\)
Dado que \(P = 20\) cm, temos:
\(4l = 20\)
\(l = 20 \div 4 = 5\) cm
Agora, calculamos a área: \(A = l^2\)
\(A = 5^2 = 25\) cm²
Área do Retângulo
O retângulo é uma figura geométrica plana com quatro lados, onde os lados opostos são paralelos e iguais, e todos os ângulos internos são retos (90°).
Fórmula da Área do Retângulo
Onde \(b\) é a base (comprimento) e \(h\) é a altura (largura) do retângulo.
Exemplo
Calcule a área de um retângulo com base de 8 cm e altura de 5 cm.
Resolução:
Dados: \(b = 8\) cm, \(h = 5\) cm
Aplicando a fórmula: \(A = b \cdot h\)
\(A = 8 \cdot 5 = 40\)
A área do retângulo é 40 cm².
Exercício
Um terreno retangular tem 12 m de frente e 25 m de fundo. Qual é a área desse terreno em metros quadrados?
Resolução:
Dados: \(b = 12\) m, \(h = 25\) m
Aplicando a fórmula: \(A = b \cdot h\)
\(A = 12 \cdot 25 = 300\)
A área do terreno é 300 m².
Área do Paralelogramo
O paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos e de mesma medida. Diferente do retângulo, os ângulos internos não são necessariamente retos.
Fórmula da Área do Paralelogramo
Onde \(b\) é a base e \(h\) é a altura (perpendicular à base) do paralelogramo.
Exemplo
Calcule a área de um paralelogramo com base de 6 cm e altura de 4 cm.
Resolução:
Dados: \(b = 6\) cm, \(h = 4\) cm
Aplicando a fórmula: \(A = b \cdot h\)
\(A = 6 \cdot 4 = 24\)
A área do paralelogramo é 24 cm².
Exercício
Um paralelogramo tem base de 9 cm e área de 63 cm². Determine a altura desse paralelogramo.
Resolução:
Dados: \(b = 9\) cm, \(A = 63\) cm²
Utilizando a fórmula: \(A = b \cdot h\)
\(63 = 9 \cdot h\)
\(h = 63 \div 9 = 7\) cm
A altura do paralelogramo é 7 cm.
Área do Trapézio
O trapézio é um quadrilátero que possui dois lados paralelos, chamados de bases. As bases têm medidas diferentes, e os outros dois lados não são paralelos.
Fórmula da Área do Trapézio
Onde \(B\) é a base maior, \(b\) é a base menor e \(h\) é a altura do trapézio.
Exemplo
Calcule a área de um trapézio com base maior de 10 cm, base menor de 6 cm e altura de 4 cm.
Resolução:
Dados: \(B = 10\) cm, \(b = 6\) cm, \(h = 4\) cm
Aplicando a fórmula: \(A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}\)
\(A = \frac{(10 + 6) \cdot 4}{2}\)
\(A = \frac{16 \cdot 4}{2} = \frac{64}{2} = 32\)
A área do trapézio é 32 cm².
Exercício
Um terreno tem formato de trapézio. Suas bases medem 25 m e 15 m, e a distância entre elas é de 12 m. Calcule a área desse terreno.
Resolução:
Dados: \(B = 25\) m, \(b = 15\) m, \(h = 12\) m
Utilizando a fórmula: \(A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}\)
\(A = \frac{(25 + 15) \cdot 12}{2}\)
\(A = \frac{40 \cdot 12}{2} = \frac{480}{2} = 240\)
A área do terreno é 240 m².
Área do Losango
O losango é um paralelogramo cujos quatro lados têm a mesma medida. As diagonais do losango são perpendiculares entre si.
Fórmula da Área do Losango
Onde \(D\) é a diagonal maior e \(d\) é a diagonal menor do losango.
Exemplo
Calcule a área de um losango cujas diagonais medem 8 cm e 6 cm.
Resolução:
Dados: \(D = 8\) cm, \(d = 6\) cm
Aplicando a fórmula: \(A = \frac{D \cdot d}{2}\)
\(A = \frac{8 \cdot 6}{2}\)
\(A = \frac{48}{2} = 24\)
A área do losango é 24 cm².
Exercício
Um losango tem diagonais de 16 cm e 12 cm. Qual é o lado desse losango?
Resolução:
Dados: \(D = 16\) cm, \(d = 12\) cm
O lado de um losango pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras, considerando um triângulo retângulo formado por metade de cada diagonal e o lado.
\(l^2 = \left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\)
\(l^2 = \left(\frac{16}{2}\right)^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2\)
\(l^2 = 8^2 + 6^2\)
\(l^2 = 64 + 36 = 100\)
\(l = 10\) cm
O lado do losango mede 10 cm.
Área do Triângulo
O triângulo é um polígono de três lados. Existem várias fórmulas para calcular a área de um triângulo, dependendo dos dados disponíveis.
Fórmulas da Área do Triângulo
- Base e altura: \(A = \frac{b \cdot h}{2}\)
- Fórmula de Heron: \(A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) onde \(p = \frac{a+b+c}{2}\)
- Triângulo equilátero: \(A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot l^2\)
- Dois lados e o ângulo entre eles: \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)\)
- Usando o raio da circunferência circunscrita: \(A = \frac{abc}{4R}\)
Exemplo 1: Base e Altura
Calcule a área de um triângulo com base de 8 cm e altura de 5 cm.
Resolução:
Dados: \(b = 8\) cm, \(h = 5\) cm
Aplicando a fórmula: \(A = \frac{b \cdot h}{2}\)
\(A = \frac{8 \cdot 5}{2} = \frac{40}{2} = 20\)
A área do triângulo é 20 cm².
Exemplo 2: Fórmula de Heron
Calcule a área de um triângulo com lados a = 5 cm, b = 6 cm e c = 7 cm.
Resolução:
Dados: \(a = 5\) cm, \(b = 6\) cm, \(c = 7\) cm
Primeiro, calculamos o semiperímetro p: \(p = \frac{a + b + c}{2}\)
\(p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9\)
Aplicando a fórmula de Heron: \(A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
\(A = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}\)
\(A = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}\)
\(A = \sqrt{216} \approx 14,7\) cm²
Exercício 1
Um triângulo tem base 10 cm e área 35 cm². Qual é a altura desse triângulo?
Resolução:
Dados: \(b = 10\) cm, \(A = 35\) cm²
Utilizando a fórmula: \(A = \frac{b \cdot h}{2}\)
\(35 = \frac{10 \cdot h}{2}\)
\(35 \cdot 2 = 10 \cdot h\)
\(70 = 10h\)
\(h = \frac{70}{10} = 7\) cm
A altura do triângulo é 7 cm.
Exercício 2
Um triângulo equilátero tem lado igual a 6 cm. Calcule sua área.
Resolução:
Dados: \(l = 6\) cm
Utilizando a fórmula para triângulo equilátero: \(A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot l^2\)
\(A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2\)
\(A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36\)
\(A = 9\sqrt{3} \approx 15,59\) cm²
Área do Hexágono
O hexágono é um polígono com seis lados. Um hexágono regular tem todos os lados e ângulos iguais.
Fórmulas da Área do Hexágono Regular
- Usando o lado: \(A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot l^2\)
- Usando o apótema: \(A = 3 \cdot a \cdot l\) onde \(a\) é o apótema (distância do centro a um lado)
- Usando o raio da circunferência circunscrita: \(A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot R^2\)
Exemplo: Usando o Lado
Calcule a área de um hexágono regular com lado de 4 cm.
Resolução:
Dados: \(l = 4\) cm
Aplicando a fórmula: \(A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot l^2\)
\(A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2\)
\(A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16\)
\(A = 24\sqrt{3} \approx 41,57\) cm²
Exercício
Um hexágono regular está inscrito em uma circunferência de raio 6 cm. Calcule a área desse hexágono.
Resolução:
Dados: \(R = 6\) cm (raio da circunferência circunscrita)
Utilizando a fórmula: \(A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot R^2\)
\(A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 6^2\)
\(A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 36\)
\(A = 54\sqrt{3} \approx 93,53\) cm²
Área do Círculo
O círculo é uma figura plana formada por todos os pontos equidistantes de um ponto central. A distância do centro a qualquer ponto do círculo é chamada de raio.
Fórmula da Área do Círculo
Onde \(r\) é o raio do círculo e \(\pi\) (pi) é uma constante aproximadamente igual a 3,14159...
Exemplo
Calcule a área de um círculo com raio de 5 cm.
Resolução:
Dados: \(r = 5\) cm
Aplicando a fórmula: \(A = \pi \cdot r^2\)
\(A = \pi \cdot 5^2\)
\(A = \pi \cdot 25\)
\(A = 25\pi \approx 78,54\) cm²
Exercício
Um círculo tem área de 144π cm². Qual é o seu raio?
Resolução:
Dados: \(A = 144\pi\) cm²
Utilizando a fórmula: \(A = \pi \cdot r^2\)
\(144\pi = \pi \cdot r^2\)
\(r^2 = 144\)
\(r = \sqrt{144} = 12\) cm
O raio do círculo é 12 cm.
Área do Setor Circular
O setor circular é uma região de um círculo limitada por dois raios e um arco. É semelhante a uma "fatia de pizza".
Fórmula da Área do Setor Circular
Onde \(r\) é o raio do círculo e \(\alpha\) é o ângulo central do setor em graus.
Também pode ser escrita como: \(A = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \alpha\) (quando \(\alpha\) está em radianos)
Exemplo
Calcule a área de um setor circular com raio de 10 cm e ângulo central de 45°.
Resolução:
Dados: \(r = 10\) cm, \(\alpha = 45°\)
Aplicando a fórmula: \(A = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2\)
\(A = \frac{45}{360} \cdot \pi \cdot 10^2\)
\(A = \frac{1}{8} \cdot \pi \cdot 100\)
\(A = 12,5\pi \approx 39,27\) cm²
Exercício
Um setor circular tem raio de 12 cm e área de 24π cm². Qual é o ângulo central desse setor em graus?
Resolução:
Dados: \(r = 12\) cm, \(A = 24\pi\) cm²
Utilizando a fórmula: \(A = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2\)
\(24\pi = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot 12^2\)
\(24\pi = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot 144\)
\(24 = \frac{\alpha}{360°} \cdot 144\)
\(24 \cdot 360° = \alpha \cdot 144\)
\(8640 = 144\alpha\)
\(\alpha = \frac{8640}{144} = 60°\)
O ângulo central do setor circular é 60°.
Área da Coroa Circular
A coroa circular é a região compreendida entre dois círculos concêntricos (com o mesmo centro), um com raio maior e outro com raio menor.
Fórmula da Área da Coroa Circular
Onde \(R\) é o raio do círculo maior e \(r\) é o raio do círculo menor.
Também pode ser escrita como: \(A = \pi(R+r)(R-r)\)
Exemplo
Calcule a área de uma coroa circular com raio externo de 9 cm e raio interno de 4 cm.
Resolução:
Dados: \(R = 9\) cm, \(r = 4\) cm
Aplicando a fórmula: \(A = \pi(R^2 - r^2)\)
\(A = \pi(9^2 - 4^2)\)
\(A = \pi(81 - 16)\)
\(A = \pi \cdot 65\)
\(A = 65\pi \approx 204,20\) cm²
Exercício
Uma coroa circular tem raio externo de 12 cm e área de 99π cm². Determine o raio interno dessa coroa.
Resolução:
Dados: \(R = 12\) cm, \(A = 99\pi\) cm²
Utilizando a fórmula: \(A = \pi(R^2 - r^2)\)
\(99\pi = \pi(12^2 - r^2)\)
\(99 = 144 - r^2\)
\(r^2 = 144 - 99\)
\(r^2 = 45\)
\(r = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6,71\) cm
O raio interno da coroa circular é \(3\sqrt{5}\) cm, ou aproximadamente 6,71 cm.
Parabéns, Explorador Geométrico!
Você concluiu a jornada pelas áreas de figuras planas. Agora você possui o conhecimento necessário para calcular áreas de diversas figuras geométricas e resolver problemas relacionados.
Resumo das Fórmulas
| Figura | Fórmula | Observações |
|---|---|---|
| Quadrado | \(A = l^2\) | \(l\) = lado |
| Retângulo | \(A = b \cdot h\) | \(b\) = base, \(h\) = altura |
| Paralelogramo | \(A = b \cdot h\) | \(b\) = base, \(h\) = altura (perpendicular à base) |
| Trapézio | \(A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}\) | \(B\) = base maior, \(b\) = base menor, \(h\) = altura |
| Losango | \(A = \frac{D \cdot d}{2}\) | \(D\) = diagonal maior, \(d\) = diagonal menor |
| Triângulo (base e altura) | \(A = \frac{b \cdot h}{2}\) | \(b\) = base, \(h\) = altura |
| Triângulo (Heron) | \(A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) | \(p = \frac{a+b+c}{2}\), onde \(a\), \(b\), \(c\) são os lados |
| Triângulo equilátero | \(A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot l^2\) | \(l\) = lado |
| Hexágono regular | \(A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot l^2\) | \(l\) = lado |
| Círculo | \(A = \pi \cdot r^2\) | \(r\) = raio |
| Setor Circular | \(A = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2\) | \(r\) = raio, \(\alpha\) = ângulo central em graus |
| Coroa Circular | \(A = \pi(R^2 - r^2)\) | \(R\) = raio externo, \(r\) = raio interno |
Dicas para o vestibular
- Memorize as fórmulas básicas
- Pratique com diferentes tipos de problemas
- Identifique a figura geométrica corretamente
- Verifique se as unidades estão consistentes
- Sempre desenhe a figura quando possível
Próximos Passos
- Pratique com mais exercícios desafiadores
- Estude áreas de figuras compostas
- Explore relações entre áreas e perímetros
- Aplique os conceitos em problemas do cotidiano
- Resolva questões de vestibulares anteriores